יליד דוברובנה שבלארוס, אז בתחום המושב היהודי של האימפריה הרוסית. עסק בפעילות ציונית ואף ישב בכלא בשל פעילותו. ב-1926 עלה לישראל וב-1927 הקים את חברת ההפקות "מולדת" יחד עם קרוב משפחתו ירושלים סגל, שעסק עד אז בהפקת תרגומים לסרטים. לאחר נסיון כושל להפיק סרט עלילתי באורך מלא בשם "החלוץ", החל אקסלרוד לעסוק ביצירת יומני חדשות קולנועיים, בהתחלה במסגרת "מולדת" והחל מ-1935 במסגרת חברת "סרטי כרמל" שהקים.
"יומן כרמל" של אקסלרוד הופק במשך יותר משלושים שנה, נהנה מפופולריות גדולה בציבור והפך את יוצרו לדמות המשמעותית ביותר בתולדות הקולנוע העברי המוקדם. בראשית שנות ה-50, החל אקסלרוד להפיק את היומן במסגרת "אולפני הרצליה", עד שפרש מעשייתו ב-1956 והיומן המשיך להיות מופק בלעדיו תחת השם "יומן כרמל הרצליה".
במקביל ליצירת היומן, המשיך אקסלרוד בנסיונותיו ליצירת סרטי עלילה. ב-1932 שימש כצלם ועורך של "עודד הנודד", הסרט הראשון באורך מלא שהופק בארץ ישראל. כמו כן, ביים את הסרטים "מעל החורבות" (1938), "דן וסעדיה" (1956) ו"הבו בנות לאילת" (1965). ב-1962 יצר יחד עם הקולנוענים הצעירים אורי זוהר ויואל זילברג את הסרט "עץ או פלשתיין", שגולל את תולדותיה של ישראל על בסיס חומרים שנלקחו מהיומנים שיצר לאורך השנים.