נולד בקזבלנקה שבמרוקו, אחד מתוך שבעה אחים ואחיות, ועלה עם משפחתו לישראל כשהיה בן שנה וחצי. התגורר במגדל העמק ולמד בחינוך הדתי. בוגר הסטודיו למשחק ניסן נתיב. תפקידו הקולנועי הראשון היה בסרט "גב... להמשך
נולד בקזבלנקה שבמרוקו, אחד מתוך שבעה אחים ואחיות, ועלה עם משפחתו לישראל כשהיה בן שנה וחצי. התגורר במגדל העמק ולמד בחינוך הדתי. בוגר הסטודיו למשחק ניסן נתיב. תפקידו הקולנועי הראשון היה בסרט "גבי בן יקר" של אורי ברבש ב-1982, שבוים עבור צה"ל. ב-1981 השתתף בהצגה "ביער ביער" בפסטיבל עכו, שנכתבה על-ידי חיים מרין ובוימה על-ידי מיקי גורביץ', לצד חברו ללימודים אורי גבריאל. בעקבות ההצגה, לוהקו השניים לסרט הפשע "מתחת לאף" (1982), שנכתב גם הוא על-ידי מרין ובוים על-ידי ינקול גולדווסר. הסרט הפך לאחת הקלאסיקות הגדולות של הקולנוע הישראלי.
פריצתו הגדולה של איבגי לקולנוע הישראלי הייתה בראשית שנות ה-90, בעקבות השתתפותו ב"שורו", סרט הביכורים של שבי גביזון. בעקבות הסרט הפך לשחקן המוביל של הקולנוע הישראלי בשני העשורים הבאים. בין תפקידיו הבולטים בקולנוע: כהן ב"גמר גביע" (1991), איציק ב"נקמתו של איציק פינקלשטיין" (1993), מוריס ב"מקס ומוריס" (1994), ויקטור ב"חולה אהבה בשיכון ג'" (1995), שלום ב"הבולשת חוקרת" (2000), סיסו ב"מטאליק בלוז" (2004) ועוד. ב-2010 כתב וביים את הסרט "וביום השלישי" ושיחק בו בתפקיד הראשי. במקביל שיחק מגוון תפקידים בתיאטרון (בין השאר ב"אנשים קשים" ו"סוחרי גומי" בתיאטרון חיפה ו"הבן הבכור" בתיאטרון גשר) ובטלוויזיה (בין השאר בתפקידים ראשיים בסדרת הפשע "הבורר" וב"זגורי אימפריה").
בתו היא השחקנית דאנה איבגי, שנולדה מיחסיו עם השחקנית עירית שלג.
בשנת 2016 הואשם איבגי על-ידי כמה נשים בהטרדות מיניות ומעשים מגונים. בעקבות פתיחת הליכים משפטיים נגדו, פרש מפעילות אמנותית.